Função Quadrática

Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f
    de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são 
    números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é
    uma curva chamadaparábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor 
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos 
sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, 
os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da
 equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula 
de Bhaskara:

    Temos:

                    

Observação

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido
 para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.

APRENDA MAIS NO VIDEO ABAIXO

A FÓRMULA DE BASKARA

As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos escritos há cerca de 4 000 anos atrás.

Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral, nem o modo como a solução havia sido obtida. Embora essas "receitas" , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais "receitas".

Na Grécia, as equações de segundo grau eram resolvidas por meio de construções geométricas como iremos ver num exercício que ilustra o método geométrico utilizado por Euclides para achar a solução da equação x² = s² - sx.

No século XII D.C.,Bhaskara [1114-1185], em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes deBhaskara, no princípio do século IX D.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir. 

Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x² + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro retângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo, "completava" esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um "quadrado perfeito" de lado x + p/2..

 

Empregando este artifício geométrico, Al-Kowarismi conseguiu demonstrar que adicionando 4 vezes p²/16 , a soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x² + px = q, obtinha-se (x + p/2)², que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é,x² + px + 4 p²/16 = (x + p/2)² .

Portanto, a equação x² + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)² = q + p²/4 implicando que x = -p/2 ±  , que é a fórmula de Bhaskara.

A descoberta de que um trinômio do segundo grau tem para imagem uma parábola, remonta à Antiguidade. As primeiras referências a respeito encontram-se nos trabalhos do matemático grego Menaecamus [ 375-325 A.C. ], que obteve a parábola seccionando um cone circular reto por um plano não paralelo à base. Pode-se provar que a curva assim obtida é a imagem de uma equação do tipo y = ax², como mostra a figura ao lado.

LEIA MAIS